Какой вопрос решают
Как оценить норму функции от ненормальной матрицы? Одних собственных значений мало: у A=[[0,a],[0,0]] оба значения нулевые, но ||A||=|a|.
Заявлено полное неравенство Крузейкса с константой 2 для матрично-значных полиномов. Это сильнее скалярной версии и должно быть отделено от уже существовавшего независимого скалярного доказательства.
Почему выбрано: Даёт ясную геометрическую демонстрацию и конкретную инженерную задачу, а также позволяет аккуратно сравнить независимый и заявленный новый результат.
До и после
Lorist–Schwenninger, версия от 17.08.2026, теорема 3, дают скалярную константу 2; замечание 3(iv) поясняет, почему их аргумент не переносится автоматически на полное усиление. Следовательно, обычный скалярный пример не показывает новую часть вклада группы 325. Прежняя универсальная полная константа 1+√2 обсуждается в источниках.
Внешние первичные источники: Lorist, Schwenninger — A solution to Crouzeix’s conjecture.
Точное утверждение и условия
325-01, теорема 1.1, PDF с. 1: для комплексной A размера n×n и P(z)=ΣBₖzᵏ с Bₖ размера m×m, P[A]=ΣAᵏ⊗Bₖ, ||P[A]||≤2 max_{z∈W(A)}||P(z)||, где W(A)={x*Ax:||x||₂=1}. Норма операторная евклидова, n,m произвольны, предположения нормальности нет; константа заявлена точной. Бесконечномерные и аналитические расширения находятся в сопутствующей работе и здесь подробно не разобраны.
Источник: указанные теоремы в локальных PDF ниже. Формулировка пересказана, но ключевые кванторы, модель и оговорки сохранены.
Три уровня объяснения
Следующие аналогии и объяснения — наша интерпретация, не дополнительные теоремы.
Загрузка локального эксперимента…
Архитектура доказательства
Пересказ вводного обзора, а не построчная проверка доказательства.
Временно окружить W(A) аналитически гладкой выпуклой областью и использовать конформное отображение и коэффициенты Фабера.
Из положительного нормированного ядра получить L²-сжатие; сохранить порядок некоммутирующих произведений и применить положительность резольвентного блока.
Сжать внешние области к W(A); пример нильпотентной матрицы показывает невозможность универсальной константы меньше 2. Это схема введения, не проверка всех аналитических переходов.
Что известно о проверке
Scope notes относят запись к полной оценке и расширениям. Локально нет исходного Lean-доказательства и запуска; независимо проверен только элементарный двумерный пример, который был известен и раньше.
Читать локальное описание формального охвата
Наличие PDF, извлечение текста, успешный маленький эксперимент и внешний результат-предшественник — разные виды свидетельств. Ни один из них здесь не отмечен как независимое подтверждение всей новой теоремы.
Практика: наш вывод, не обещание автора
Прототип визуализации числовой области и оценок остаточных полиномов. Для сертификата нужны внешнее ограждение области и доказанная верхняя оценка супремума; для матрично-значного приложения нужен отдельный аудит полной теоремы.
Ограничения переноса
Плотная выборка границы — иллюстрация, не сертификат. Сложность собственных задач для построения области и вычисления максимума может доминировать. При скалярных полиномах математическая польза не уникальна этой коллекции.
Планы проверки: Реестр утверждений, версий и формального охвата · Числовая область и честные оценки матричных функций.
Исходники и реальный охват чтения
Номера страниц относятся к физическим страницам PDF, начиная с 1. Ссылки на GitHub не закреплены на текущем commit; воспроизводимый источник — локальный путь и SHA-256.
325-01 · A direct proof of the complete Crouzeix inequality
Реальный охват: Просмотрены PDF с. 1–3: Главная теорема, предшественники, аналитическая схема. Полный объём PDF: 12 с.
math_sources/math_research_03_of_08/preprints/A-direct-proof-of-the-complete-Crouzeix-inequality-September-26-2026/paper.pdfSHA-256: d9aa4ef2dccb1f044fdf78afd7a4c93f64e71bd60e53d0f0460329596f199bb6Каталог: context/CONTENTS.md, строка 7936. Путь и хеш относятся к загруженной версии.
325-02 · The complete Crouzeix theorem: optimal similarity and a common positive boundary representation
Реальный охват: Только каталог; полный текст автоматически доступен для поиска у отобранных компаньонов, но здесь не прочитан. Полный объём PDF: 22 с.
math_sources/math_research_03_of_08/preprints/The-complete-Crouzeix-theorem-September-23-2026/paper.pdfSHA-256: b5e37fffcae2be84577cdc73f8d0ae459ecc85da994dcf605c38f69539cc962bКаталог: context/CONTENTS.md, строка 7945. Путь и хеш относятся к загруженной версии.
Семейство в CONTENTS.md, строка 7929. Структурированные заметки · Журнал внешней сверки.